数学物理方程

看三个具体模型

平衡：\(\Delta u=0\)；扩散：\(u_t-\Delta u=0\)；振动：\(u_{tt}-\Delta u=0\)。

同一个空间算子配上不同的时间结构，解的行为可以完全不同。

命题与证明

若 \(Lu=f\)、\(Lv=g\)，则 \(L(au+bv)=af+bg\)。

证明：把 \(au+bv\) 代入，利用导数的线性逐项展开即可。

特别地，两个齐次解的线性组合仍是齐次解。

非齐次方程的两个解相加，右端也会相加；不能遗漏这个变化。

分类要看主部

完全非线性例：\(\det D^2u=f\)，二阶导数之间有乘积。

二阶主部写作 \(\sum a_{ij}u_{ij}\)，取对称矩阵 \(A=(a_{ij})\)。

\(A\) 正定或负定：椭圆型；惯性指数为 \((n-1,1)\) 或反向：双曲型。

热方程主部退化，还要结合一阶时间项识别抛物结构；不能仅凭“行列式为零”判断一切退化方程。

再把积分式变成 PDE

对通量用散度定理：\(\int_V(u_t+\nabla\cdot q-f)dx=0\)。

若被积函数连续，且对任意小区域都成立，就有

代入 \(q=-\kappa\nabla u\) 即得扩散方程。

如果通量与梯度同向，模型会出现什么问题？

数据与解的类别

例：\(u_t-\Delta u=0\)，\(u(0,x)=\varphi(x)\)，\(u|_{\partial\Omega}=g\)。

要问的是哪一类解：经典解、弱解，还是其他广义解？

本课先讨论可进行求导和积分运算的经典解。

若要求连续到初始角点，应先检查 \(\varphi=g(0,\cdot)\) 在边界上是否相容。

把存在、唯一、稳定都验一遍

公式给存在性，端点唯一决定 \(A,B\) 给唯一性。

两组数据的差仍为端点差的线性插值，故 \(\|u-\tilde u\|_\infty\leq\max(|a-\tilde a|,|b-\tilde b|)\)。

先在最简单的例子里看清三个概念，再推广到 PDE。

什么叫“问题提得好”？

适定性要问三件事：

1. 存在：是否有解？
2. 唯一：数据相同，解是否相同？
3. 稳定：数据微变，解是否只发生小变化？

先说清区域、数据和解的类别，再讨论“求解”。

课堂辨析：只给 \(u_t-\Delta u=0\)，能确定唯一温度场吗？

检查一次符号

所以带电区满足 \(-\Delta u=\rho\)，无电荷区满足 \(\Delta u=0\)。

令 \(u=|x|^2\)，计算对应的 \(\rho\)，检验负号。

边界上到底给什么

第一类：\(u=g\)，固定函数值。

第二类：\(\partial_\nu u=g\)，固定法向导数。

第三类：\(\partial_\nu u+\alpha u=g\)，混合函数值与通量。

法向统一取区域的外法向；不要在中途换约定。

为什么只能确定到常数

\(u+C\) 的梯度和 Laplace 算子与 \(u\) 相同，故仍满足同样的数据。

若要唯一，可加 \(\int_\Omega u=0\) 等归一化条件。

取 \(f=1,g=0\)，有界区域上能有解吗？先看总量，不要盲目求解。

逐项求导并分部积分

对所有零边界扰动成立；由变分基本引理，\(-\Delta u=f\)。

边界项消失是因为 \(\eta=0\)，不是因为 \(\partial_\nu u=0\)。

把方程代回去

最后一个积分为零，因此

等号时 \(\nabla\eta=0\)。区域连通且 \(\eta=0\) 于边界，得到 \(\eta=0\)。

于是光滑解也是唯一极小点。这一步同时把求解与能量联系起来。

三类边界 ＋ 一个能量

外法向为 \(\nu\)：

依次是 Dirichlet、Neumann、Robin 条件。

固定边界值，令 \(v=u+\varepsilon\eta\)，\(\eta|_{\partial\Omega}=0\)：

\(\delta J(u)[\eta]=0\Rightarrow-\Delta u=f\)。

纯 Neumann 问题要检查相容性；解通常只确定到常数。

例：三维的逆距离

\(u(x)=1/|x|\)，在原点外调和。令 \(|x_0|=a\)，\(r<a\)。以原点与圆心连线为极轴：

平均值确实等于圆心值 \(1/a\)。

\(\sup u/\inf u=(a+r)/(a-r)\)，当 \(a\ge2r\) 时不超过3。

平均值与 Harnack 比较，先在能算清的函数上看见。

不要把二阶导数分别当成零

调和要求二阶导数之和为零，允许各项不为零。

\(|x|^2\) 是否调和？算出 \(\Delta|x|^2=2n\)。

证明第一步：对半径求导

由散度定理，右端等于 \(\frac1{|\partial B_r|}\int_{B_r}\Delta u=0\)。

所以球面平均与半径无关。

平均值为什么也能识别调和

若 \(u\in C^2\) 对所有充分小球满足平均值性质，Taylor 展开并利用球对称性：

左边等于 \(u(x_0)\)，除 \(r^2\) 取极限，得 \(\Delta u(x_0)=0\)。

证明：开闭集法收尾

连续非负函数积分为零，说明小球上 \(u=M\)。

集合 \(A=\{u=M\}\) 非空；由连续性闭，由刚才结论开。

\(\Omega\) 连通，故 \(A=\Omega\)。

只说“平均为最大值”还不够，要写明非负性与连续性。

球链把局部比较连接起来

\(\Omega\) 连通，\(K\Subset\Omega\)。连接 \(K\) 中各点的路径可用有限个内含于 \(\Omega\) 的球覆盖。

相邻球重叠，在交叠点连续应用局部比较。若需 \(N\) 步，总常数至多为 \(C_0^N\)。

有限覆盖使常数对全部点统一。

常数随内域靠近边界可能变大，不能把内域估计直接搬到边界。

再对差和负差各用一次

\(w=u-v\) 调和，最大值原理控制 \(w\)，对 \(-w\) 再用一次。

同一边界值时右边为零，得到 Dirichlet 唯一性；一般时得到稳定性。

平均值 → 极值 → 唯一性

如果内部一点达到最大值，平均值仍等于它，则小球上不能有更小的值。

利用连通性推出：
内部达到最大值的调和函数必为常数。

有界区域，\(u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega)\)：

两个 Dirichlet 解作差：\(w=u_1-u_2\)。
\(\Delta w=0\)，边界为零 ⇒ \(w=0\)。

非负性用在这一行

因为 \(|\nu_1|\le1\)、\(u\ge0\)，得到

最后一步是球面平均公式。

平移后：\(|\nabla u(x_0)|\le n u(x_0)/R\)。

这是相对梯度估计；一般变号调和函数要用邻域上的绝对值上界。

反方向也要做

由于 \(B_{R/4}(0)\subset B_{R/2}(x)\subset B_R\)，可得 \(u(0)\leq2^nu(x)\)。

将两式组合，对 \(x,y\in B_{R/4}\) 有 \(u(x)\leq4^nu(y)\)。

常数不追求最优；关键是只依赖维数与内外球半径比。

先估计，再让球变大

全空间有界时令 \(R\to\infty\)，得 \(\nabla u=0\)。连通性推出常数。

在有界区域里不能令半径任意增大；这是全空间假设的用处。

证明与解释

对差减常数使用最大值原理，得 \(u_1-u_2\leq\delta\)。交换二者，得反向不等式。

所以内部最大误差不会超过边界最大误差。

这个结论是否已经证明了解的存在？没有：它约束已有的两个解。

再让截断半径趋于无穷

两部分边界分别控制为0与 \(\varepsilon\)，所以 \(|w|\le\varepsilon\)。固定任一点，再令 \(\varepsilon\to0\)：\(w=0\)。

若两组内边界值差不超过 \(\delta\)，同理可得 \(\|u-v\|_\infty\le\delta\)。

若不要求无穷远行为会怎样？

在三维球外，\(1-R/|x|\) 调和、球面上为0，却不恒为0。

积分与例子

逐项积分，余弦项平均为零，故 \(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r=1\)。

常数边界值得到同一常数；边界 \(\cos m\theta\) 得到 \(r^m\cos m\theta\)。

公式的存在性与边界极限在 §2.4 再证明；现在先抓住加权平均。

教材的 Harnack 证明也补上

记 \(m=\inf u\)，\(v=u-m\ge0\)。取 \(x_k\) 使 \(v(x_k)\to0\)。

固定 \(x\)。选足够大的球同时包含 \(x,x_k\)，且两点均落在其内部半球，局部 Harnack 常数仍只依赖维数。

所以 \(u=m\)。

双侧有界是更强假设，不能把教材的“非负”结论缩写成仅有“有界”。

用理论核对答案

边界值在 \([1,3]\)，故内部也在 \([1,3]\)。圆心为2，符合平均值性质。

唯一性说明候选解就是所求解。

若边界改成 \(2+\cos20\theta\)，固定 \(r<1\) 时哪一个振荡衰减得更快？

Poisson 表示的直觉

在单位圆盘，边界值 \(g\) 按与内点位置有关的权重平均：

核非负，积分为 1。
在圆心退化为普通平均。

思考：边界值都在 [m,M] 内，为什么内部也在这个区间？

详细构造留到 §2.4；本次先看性质如何指导公式。

先得到的结论

若只知道 \(\Delta u\geq0\)，上面的矛盾还成立吗？

此时可能等于零，需要再加一个严格凸扰动。

把 ε 真正消掉

设 \(M=\max_{\partial\Omega}u\)，区域包含于 \(B_R\)。任意 \(x\in\Omega\)：

令 \(\varepsilon\downarrow0\)，得 \(u(x)\leq M\)。

对 \(-u\) 同理得到最小值原理。

证明：比较后看法向导数

在内球面选小 \(\epsilon>0\)，使 \(u-M+\epsilon h\leq0\)；外球面也成立。

弱最大值原理给 \(u-M+\epsilon h\leq0\) 于环域。

沿接触点向内靠近，除距离取极限，得 \(\partial_\nu u(x_*)\geq-\epsilon\partial_\nu h(x_*)>0\)。

外法向正导数是关键结论。

把严格间隙传到边界

选小 \(\varepsilon>0\)，使内球面上 \(u-\varepsilon h\le M\)，外球面也成立。

弱极值原理给 \(u-\varepsilon h\le M\)。沿半径到 \(x_0\)：

因此外法向导数严格为正。

一般区域要求内切球；沿外指斜方向还需与外法向夹角为锐角。

证明收尾

球内 \(u<M\)，接触点仍在原区域内部。

Hopf 引理给该点某方向的导数严格为正；但它是原区域内最大点，\(\nabla u=0\)，矛盾。

沿区域内的连通路径作上述内球，可排除最大集与非最大集同时存在。

所以内部严格为正

候选解 \(u=(1-|x|^2)/(2n)\)。

直接求导验证方程与边界；再用唯一性确定答案。

正源项的 Dirichlet Poisson 解是正的。这也核对了后面 Green 函数的符号。

强在哪里？

弱极值：最大值受边界控制。

强极值：区域连通时，若内部达到最大值，则 \(u\) 为常数。

弱结论不能单靠“最大点处 Δu≤0”证明；等号情形需要扰动。

检查符号：若 \(\Delta u\leq0\)，应改为哪一个极值？

配方，把交叉项收进去

故 \(\Delta v\ge-Cq\)。另一方面 \(\Delta(u^2)=2q\)。

选 \(A\ge C/2\)，则 \(w=v+Au^2\) 满足 \(\Delta w\ge0\)。

关键是构造一个可用极值原理的量，不是直接对每个导数取最大值。

证明与直接推论

弱最大值原理给 \(\max w\leq0\)，所以 \(u\leq v\)。

同一方程同一边界时，交换 \(u,v\) 再用一次，即得唯一性。

如果反转方程不等式，但不反转边界不等式，还能直接比较吗？

Neumann 唯一性：教材的另一种证明

两解之差 \(w\) 调和，边界上 \(\partial_\nu w=0\)。若 \(w\) 不是常数，强极值原理迫使最大值出现在边界。

在该点用 Hopf 引理，得 \(\partial_\nu w>0\)，矛盾。

因此两解仅相差常数。边界要足够光滑以满足内切球条件。

能量法与 Hopf 法得到同一结论，使用的工具和边界正则性要分别说明。

两次比较

\(u_1\leq u_2+\delta\)，同理 \(u_2\leq u_1+\delta\)。

这是对边界数据的 Lipschitz 型稳定估计；常数正好为1。

把上、下屏障逐项验掉

\(v_+=M+Fq\) 满足 \(-\Delta v_+=F\geq f\)，边界 \(v_+\geq g\)。

\(v_-=-M-Fq\) 满足 \(-\Delta v_-=-F\leq f\)，边界 \(v_-\leq g\)。

两次比较给 \(v_-\leq u\leq v_+\)。

对两个解的差重用它

令 \(w=u_1-u_2\)，源项差为 \(f_1-f_2\)，边界差为 \(g_1-g_2\)。

这同时控制两类数据的误差。

排除有限边界上的极值

若最大值在内边界上取得，Hopf 引理给相对于外区域的外法向导数 \(\partial_\nu w>0\)，与零 Neumann 数据冲突。

所以 \(w\le0\)。对 \(-w\) 重复，得到 \(w\ge0\)，即 \(w=0\)。

本处用衰减排除了常数自由度；不要把有界区域的“差常数”直接照搬到这里。

结论与比较

区域连通 ⇒ \(w\) 是常数。再加平均值为零才有 \(w=0\)。

这说明为什么 Dirichlet 能唯一，而纯 Neumann 只能唯一到常数。

Robin 条件 \(\partial_\nu w+\alpha w=0\)、\(\alpha>0\)，同一能量计算给出什么？

用一个屏障控制源项

设 \(\Omega\subset B_R(0)\)，\(-\Delta u=f\)，\(u=g\) 于边界。取

令 \(M=\|g\|_\infty\)，\(F=\|f\|_\infty\)。比较 \(u\) 与 \(\pm(M+Fq)\)：

先验估计：不先求出解，也能控制解。

分维数积分

\(n\geq3\)：\(v=Ar^{2-n}+B\)。\(n=2\)：\(v=A\log r+B\)。

按 \(-\Delta\Gamma=\delta_0\) 归一化：

分布意义的证明

取光滑紧支撑测试函数 \(\eta\)，在去掉小球的区域对 \(\Gamma,\eta\) 用 Green 恒等式。

含 \(\Gamma\partial_\nu\eta\) 的小球项趋零；含 \(\eta\partial_\nu\Gamma\) 的项趋 \(\eta(0)\)。

故 \(\int\Gamma(-\Delta\eta)=\eta(0)\)，即 \(-\Delta\Gamma=\delta_0\)。

另一项留下圆心值

基本解的通量满足 \(\int_{\partial B_\varepsilon}\partial_{\nu_B}\Gamma=-1\)。把 \(u(y)=u(x)+O(\varepsilon)\) 代入：

于是对 \(-\Delta u=f\)：

小球法向的负号，是表示公式最容易出错的一处。

边界法向与完整公式

若区域挖掉一个小球，小球的区域外法向指向球心。

后面的表示公式最容易在这里丢一个负号，先把法向画出来。

对称性的证明

对 \(G(x,\cdot)\)、\(G(z,\cdot)\) 在挖掉两个极点小球的区域使用第二恒等式。

外边界项为零；两小球的通量极限分别给 \(G(x,z)\) 与 \(G(z,x)\)。

所以 \(G(x,z)=G(z,x)\)。要求区域、Green 函数具有所需正则性。

二维修正及边界质量

二维 \(\Gamma(z)=-(2\pi)^{-1}\log|z|\)。设 \(d=\operatorname{diam}\Omega\)，则

对 \(-\Delta_yG=\delta_x\) 积分，或在挖孔域计算通量：

所以 Poisson 核 \(P=-\partial_\nu G\) 是质量为1的非负边界权重。

逐项取极限

\(G=0\) 消去外边界的 \(G\partial_\nu u\) 项；单位点源通量给出 \(u(x)\)。

已知 Green 函数以后，求解归结为积分；其存在性需要另外论证。

用刚算过的小球通量取极限

在 \(x\) 附近，奇性项留下 \(G(z,x)\)；在 \(z\) 附近留下相反符号的 \(G(x,z)\)。

因此 \(G(x,z)=G(z,x)\)。

对称性依赖这里的自伴算子及相同边界条件；一般带漂移算子须同时考虑伴随 Green 函数。

Green 第二恒等式

对 \(-\Delta u=f\)，\(u=g\) 于边界，在极点挖小球，再令半径趋零：

体积分记录源项；边界积分记录边界数据。

符号与本页 \(-\Delta\) 的约定配套使用。

逐条验证

第一项在 \(y=x\) 产生单位点源，第二项在区域内调和；边界两项相消。

无界区域还须附加适当的无穷远条件，才能用它唯一刻画所求解。

核的显式结果

无源问题的解为 \(u(x)=\int_{\mathbb R^2}P(x,y')g(y')dy'\)。

用极坐标验证积分为1；核非负，解释了常数保持与最大值控制。

再确定前面的系数

三维取

边界距离比例与系数相消。\(x^*\) 在球外，所以修正项在球内调和。

原点情形由极限得到 \(G(0,y)=(|y|^{-1}-R^{-1})/(4\pi)\)。

为什么 Green 函数非负

在去掉足够小的极点球后，小球面上基本解主导，\(G>0\)；外球面 \(G=0\)。

由最小值原理，去球区域 \(G\geq0\)，再令小球半径趋零。

由表示公式，零边界且 \(f\geq0\) 的解应有什么符号？

方法适用到哪里

平面用反射，球面用反演；关键是让边界上的距离关系可计算。

一般区域往往没有这样简单的显式式子，但 Green 函数仍由方程与边界条件定义。

先利用几何，再验证分析条件。

球：反演代替反射

球 \(B_R(0)\subset\mathbb R^3\)，\(x\ne0\)。反演点：

在 \(|y|=R\) 上，
\(|x^*-y|=\frac R{|x|}|x-y|\)。

思考：为什么球上的镜像点必须同时调整“电荷强度”？

证明的第一部分

核来自 \(-\partial_{\nu_y}G\)，所以对内点 \(x\) 是调和的；在紧内球上可逐项求导。

核非负，且积分为1。后者也可把常数调和函数代入 Green 表示得到。

剩下要证明边界极限，而不是只验证内部方程。

近处用小振幅，远处用核趋零

近处积分绝对值不超过 \(\epsilon\int P_R=\epsilon\)。

远处当 \(x\to z\) 时，\(|x-y|\) 有正下界，分子 \(R^2-|x|^2\to0\)，故该积分趋零。

于是边界极限成立。再用最大值原理得到唯一性。

为什么这一步解决了困难

再求一次导数，体积项只剩可积的一阶核；边界项在域内光滑。因此 \(v\in C^2(B_1)\)。

调和修正同样在域内光滑。用挖孔和基本解通量可验证 \(-\Delta v=f\)，故 \(-\Delta u=f\)。

仅写“对核求导两次”会漏掉奇性，不能算完整的存在性证明。

证明：先去掉外边界数据

令 \(v\) 是边界值为 \(u|_{\partial B_1}\) 的 Poisson 解，\(w=u-v\)。外边界 \(w=0\)。

对固定 \(\epsilon>0\)，在足够小的内球面有 \(|w|\leq\epsilon h\)，其中 \(h=r^{2-n}-1\) 或 \(-\log r\)。

在环域比较得到 \(|w|\leq\epsilon h\)。固定内点再令 \(\epsilon\to0\)，得 \(w=0\)。

连续接到边界

当 \(|x|\to1\) 时右端趋0，故 \(u\) 连续取零边值。

非零边界时叠加 Poisson 积分：源项负责内部受迫，Poisson 项负责边界。

这里为何比逐点估计奇异核更省事？

再控制高阶导数

对核的有理表达式逐阶求导，得到内球估计

阶乘型控制使 Taylor 余项在充分小球内趋零；所以 \(u\) 等于其 Taylor 级数，实解析。

光滑不自动等于解析，必须控制高阶增长。

常源项的完整例子

单位球中 \(-\Delta u=1\)，边界 \(u=a\)。

验证方程与边界，比较原理保证唯一。源项产生的内部抬升，不能由只含边界的平均替代。

逐项积分得到局部解析

Poisson 核还带多项式因子 \(1-|x|^2\)，因此它在 \(x_0\) 附近有收敛的多元幂级数。

一致收敛允许与边界积分交换，得到 \(u\) 在 \(x_0\) 的幂级数表示。

推论：连通区域中调和函数若在一个开子集上为0，则处处为0。

证明：解析性使零集从一个小球传播到相邻小球，再沿路径覆盖。

光滑不自动等于解析；这里真正使用了核的收敛展开。

表示公式带来的正则性

在内部对核求导 ⇒ 调和函数光滑，并可进一步证明实解析。

可去奇点的一个常用充分条件：
穿孔球中调和，且在孤立点附近有界 ⇒ 可延拓为调和函数。

更精细的判据（原点处）：

\(1/|x|\) 在三维原点可去吗？检查它的量级。

正交与完备分别说什么

若 \(\|\phi_k\|_2=1\)，且 \((\phi_j,\phi_k)=0\) 对 \(j\ne k\)，称标准正交系。

完备指其线性组合在 \(L^2\) 中稠密，等价于 \((f,\phi_k)=0\) 对所有 \(k\) 成立时 \(f=0\)。

正交不自动给完备；后面展开一般初值要调用完备性。

先排除零和负值

所以 \(\lambda\geq0\)。若 \(\lambda=0\)，\(X'\equiv0\)，再用零端点得 \(X=0\)，不允许。

故 Dirichlet 特征值严格为正。

先用能量判断符号，再解常微分方程。

频率离散化

其中 \(k=1,2,\ldots\)。归一化利用 \(\int_0^L\sin^2(k\pi x/L)=L/2\)。

为什么不能把 \(k=0\) 也算作 Dirichlet 模态？

边界项决定正交

Dirichlet 条件使右端为零；\(\lambda_i\ne\lambda_j\)，所以积分为零。

更一般的同一组自伴边界条件也消去这个边界型。

正交性不是偶然的三角恒等式，而是算子与边界共同作用的结果。

利用三角系统的完备性

奇延拓的所有 Fourier 系数为零，所以它在 \(L^2\) 中为零；故原 \(f=0\)。

逐点或一致收敛需要额外正则性；不要把不同收敛方式混用。

Robin 的边界能量

用外法向写 \(\partial_\nu X+\alpha X=0\)，\(\alpha>0\)，则

左端点的外法向导数是 \(-X'(0)\)，右端点才是 \(X'(L)\)。

正交性从哪里来？

分别把 \(-X_i''=\lambda_iX_i\) 乘 \(X_j\)，交换指标后相减、积分：

边界项为零 ⇒ 不同特征值对应特征函数正交。

Neumann 条件 \(X'(0)=X'(L)=0\)：
余弦模态；另有 \(\lambda_0=0\) 的常数模态。

边界条件改变，允许的模态也改变。

写出谱并核对重数

对应正弦乘积。不同指标可能给出同一特征值，所以高维特征值允许重数。

正方形上比较 \((j,k)=(1,2)\) 与 \((2,1)\)。

再积分一次，得到几何常数

对 \(x_1\) 积分多得一个 \(D\)，再对其余变量用 Fubini：

由密度推广到 \(H_0^1(\Omega)\)。结合 Rayleigh 商：\(\lambda_1\ge D^{-2}>0\)。

最优常数为 \(1/\lambda_1\)，但以上几何证明先独立地保证正性。

一般函数不满足此式；零边界或零平均等约束不可删除。

变分刻画与 Poincaré

第一特征值满足 \(\lambda_1=\inf_{v\in H_0^1\setminus\{0\}}\int|\nabla v|^2/\int v^2\)。

所以 \(\int|\nabla v|^2\geq\lambda_1\int v^2\)。

在已知谱基的情形，展开 \(v=\sum c_k\phi_k\)，比较 \(\sum\lambda_kc_k^2\) 与 \(\lambda_1\sum c_k^2\) 即得。

径向方程出现 Bessel 函数

令 \(s=\sqrt\lambda r\)，化为 \(s^2V''+sV'+(s^2-m^2)V=0\)。

原点正则的解取第一类 Bessel 函数 \(J_m(s)\)；奇异的另一支由原点正则性排除。

\(J_m(\sqrt\lambda)=0\)，因此由 Bessel 正零点决定特征值。

在最大点会发生什么

内部最大点有 \(Du=0\)，\(D^2u\) 半负定。

由于 \(A\) 正定，\(\operatorname{tr}(AD^2u)\leq0\)。若 \(c\leq0\)、最大值为正，则 \(cu\leq0\)。

这就是一般椭圆最大值原理的局部代数基础。

面积元决定权重

固定 \(m\) 时不同零点的径向函数在权 \(r\) 下正交。归一化后，系数由面积内积计算。

例如径向初值的圆盘热解：

展开时不能遗漏面积元中的 \(r\)；完备性调用教材的谱理论结论。

证明

\(L\psi=e^{kx_1}(a_{11}k^2+b_1k+c)>0\)。

\(u+\epsilon\psi\) 不可能有正的内部最大值，否则最大点代数给其 \(L\) 值非正，与严格正矛盾。

因此最大值受边界正部控制，再令 \(\epsilon\to0\)。

由算子谱回到 PDE

紧自伴谱定理给 \(K\phi_k=\mu_k\phi_k\)，\(\mu_k>0\)、\(\mu_k\to0\)，并有正交基。

于是 \(-\Delta\phi_k=\mu_k^{-1}\phi_k\)，即 \(\lambda_k\to\infty\)。

此处明确用到的工具是紧自伴谱定理；区间的显式计算不等于一般区域存在性证明。

Hopf 与强极值怎样接续

有内切球时，用指数径向屏障，其二阶主项可由一致椭圆性控制，得到非恒定解正边界最大点的严格外法向导数。

若在内部取得非负最大值，沿最大值集与非最大值集的接触球应用 Hopf，和内部梯度为零矛盾。

因此解恒为该最大值。

\(c\le0\) 时“非负最大值”是条件；若 \(c=0\)，可平移常数，去掉这个限制。

什么是“一致椭圆”？

主部矩阵满足：存在 \(\lambda>0\)，

适当光滑性与 \(c\leq0\) 等条件下，极值原理推广到这类算子。

判断：\(u_{xx}+2u_{yy}\) 与 \(u_{xx}-u_{yy}\)，哪个是椭圆型？

先让学生选方法

甲：边界 \(g\equiv1\) 的调和解。乙：\(-\Delta u\geq0\)、零边界，判定符号。丙：矩形域特征值。

分别说明选择理由，再开始计算。

唯一性不要省略

设另有 \(v\)，则 \(w=v-a\) 调和且零边界。对 \(w,-w\) 用最大值原理，得到 \(w=0\)。

“看出来一个解”和“说明这就是唯一解”是两步。

再给上界

\(q=(1-|x|^2)/(2n)\) 满足 \(-\Delta q=1\)，零边界。

比较原理给 \(0\leq u\leq q\leq1/(2n)\)。

这道题不必知道 \(f\) 的具体形状，照样得到精确的统一界。

计算与验证

两次求导验证方程；端点正弦为零。唯一性可用极值法，也可用能量。

若右端有常数项，不能直接把它当成 Dirichlet 的零模态。

把错误改成可用结论

Neumann 唯一性应写“唯一到常数”；Poisson 公式的边界极限需检查数据连续性。

请把本章一个错题改写成“条件—结论—证明—检验”四行结构，再与同学互查。

单元练习 · 先选法再动笔

① 单位球，边界值恒为 \(c\)：猜解并证唯一。

② 若 \(-\Delta u\geq0\)，边界 \(u\geq0\)：判断解的符号。

③ 在 \((0,\pi)\) 求解

每个结论都要说明使用条件。

用散度定理得到局部式

均匀介质中 \(\rho c_vu_t=k\Delta u+F\)。

记 \(\kappa=k/(\rho c_v)>0\)，\(f=F/(\rho c_v)\)，得到 \(u_t-\kappa\Delta u=f\)。

热量从高温流向低温，对应通量的负梯度号。

例：带背景温度的热脉冲

\(A>0\) 时峰值在 \(x=0\)，随时间下降；下确界为 \(C\)。

扣掉背景后 \(\int_\mathbb R(u-C)dx=A\)，峰值按 \((t+B)^{-1/2}\) 衰减。

若 \(C\ne0\)，不要宣称整个温度函数在全空间可积。

两个常微分方程

空间：\(-X''=\lambda X\)，零端点。时间：\(T'+\kappa\lambda T=0\)。

所以 \(X_k=\sin(k\pi x/L)\)，\(T_k=e^{-\kappa\lambda_kt}\)。

同一组空间模态，热方程给每个模态配上衰减因子。

形成候选解

逐项满足方程不代表级数自动满足方程；下一步必须检查求和与求导交换。

观察 \(e^{-\kappa k^2t}\)：固定正时间时，高阶导数带来的 \(k\) 次幂会不会失控？

恢复初值与相容性

因此正时间可逐项求导，得到光滑解。\(L^2\) 中恢复初值由 Parseval 与支配收敛给出。

若初值光滑且满足相容条件，可进一步得到闭柱上的古典性质。

在 \(t=0\) 不能直接套正时间的指数衰减估计。

一致恢复要再用初值光滑性

若 \(\varphi\in C^1([0,L])\)，\(\varphi(0)=\varphi(L)=0\)，由导数的 Fourier 系数与 Bessel 不等式：\(\sum k^2|a_k|^2<\infty\)。

因此同样分尾项和有限项，得到 \(\|u(t)-\varphi\|_\infty\to0\)。

这两种收敛不是同一句“令 t=0”。

积分因子写完整

第一项传播初值，积分项叠加每个时刻的新源。

用 Leibniz 求导法则验证积分项为何恰好产生 \(f_k(t)\)。

积分的来源与非零边界

把 \([0,t]\) 分段，在第 \(j\) 段投入 \(f(\tau_j)\Delta\tau_j\)，经齐次演化到 \(t\) 后相加。Riemann 和极限就是 Duhamel 积分。

非零边界先选延拓 \(h\)，令 \(v=u-h\)。则 \(v\) 为零边界，源项改成 \(f-h_t+\Delta h\)。

齐次化边界同时改变源项和初值；不能只减一个边界函数就结束。

初值决定每个模态的权重

\(u(0,x)=\varphi(x)\)，\(u(t,0)=u(t,L)=0\)。

光滑性、收敛性和角点相容性需要分别检查。连续到初始角点时，至少有 \(\varphi(0)=\varphi(L)=0\)。

高频衰减更快：扩散抹平振荡。

分部积分的证明

卷积定理由 Fubini 与换元得到：\(\widehat{f*g}=\widehat f\widehat g\)。

Fourier 变换把常系数空间微分化成频率参数。

卷积定理不是形式代换

先用绝对可积性作 Fubini 换序，再令 \(z=x-y\)，指数分成 \(e^{-iz\cdot\xi}e^{-iy\cdot\xi}\)，得到 \(\widehat f\widehat g\)。

反复用导数、乘坐标公式，可证 \(\mathcal F:\mathcal S\to\mathcal S\) 连续。

逆变换与正变换的 \((2\pi)^n\) 常数要跟本页约定一致。

一般 L² 函数的变换怎样定义

取 \(f_j\in\mathcal S\)，\(f_j\to f\) 于 \(L^2\)。等式说明 \(\widehat f_j\) 为 \(L^2\) Cauchy 列，定义其极限为 \(\widehat f\)。

若换一列逼近，同一等式使两个极限相等，所以定义无关选择。

通过极限保留 Plancherel 等式。

一般 L² 函数未必绝对可积，不能把其 Fourier 变换一律解释为普通绝对收敛积分。

逆变换 Gaussian

一维 Gaussian 积分给 \(\int e^{-a\xi^2+ix\xi}d\xi=\sqrt{\pi/a}\,e^{-x^2/(4a)}\)。

各坐标乘起来，再乘逆变换常数：

证明初值：近、远分拆

近处用 \(\varphi\) 连续；远处令 \(z=\sqrt t\,w\)，Gaussian 尾积分趋零。

若初值一致连续，可得到一致收敛；只连续时先说逐点极限。

强连续性要限制 p 有限

对 \(1\le p<\infty\)，Minkowski 给

\(L^p\) 平移连续；被积量由 \(2\|f\|_pH(1,z)\) 控制，所以支配收敛给极限0。

\(p=\infty\) 时一般不成立；有界一致连续函数可以。

例如阶跃函数在跳点附近不会得到一致范数的初值收敛。

正性需要什么条件

若 \(\varphi\geq0\) 且不恒零并连续，则存在一小球上 \(\varphi>0\)。

\(H_\kappa(t,x-y)>0\) 对所有 \(y\) 成立，该小球对卷积贡献严格为正。

故任意正时刻、任意空间点 \(u>0\)。一般可积初值应说“非零于正测度集”。

演化与质量

解的宽度随 \(t+a\) 增大，峰值降低，但空间积分始终为1。

对非负可积初值，Fubini 给 \(\int u(t,x)dx=\int\varphi\)。

无限传播并非质量变大；它描述影响的支撑范围。

热核：一团扩散的单位质量

\(t>0\)：热核正、光滑，且 \(\int H_\kappa dx=1\)。

有界连续初值时可恢复初值；更一般数据需指定收敛意义。

非零、非负初值 ⇒ 任意正时刻全空间都为正：无限传播。

严格情形的证明

若 \(u_t-\Delta u<0\) 却在非抛物边界处达到最大，空间 Hessian 半负定，时间导数非负（顶面用左导数）。

所以 \(u_t-\Delta u\geq0\)，矛盾。

一般情况用 \(u_\epsilon=u-\epsilon t\)，再令 \(\epsilon\downarrow0\)。

带源项的时间屏障

若 \(|u|\leq M\) 于抛物边界，\(|f|\leq F\)，则比较 \(u\) 与 \(\pm(M+Ft)\)：

正向估计的时间方向不可反过来随意使用。

Cauchy–Schwarz 产生不等号

代入热核恒等式，右端为 \(\int H_t/H\,d\mu+n/(2t)=u_t/u+n/(2t)\)。

所以 \(|\nabla u|^2/u^2-u_t/u\le n/(2t)\)。

一般正解还需下一步局部 Bochner 论证，不能预先假设它一定是给定初值的有界核卷积。

写出核心微分不等式

Bochner 公式：\(\frac12\Delta|\nabla f|^2=|D^2f|^2+\nabla f\cdot\nabla\Delta f\)。

由 \(|D^2f|^2\geq(\Delta f)^2/n\) 及 \(\Delta f=-(F/t+(\alpha-1)|\nabla f|^2)/\alpha\)，得

再计算时间导数项

对 \(Lf=|\nabla f|^2\) 求时间导数，\(Lf_t=2\nabla f\cdot\nabla f_t\)。

令 \(F=t(|\nabla f|^2-\alpha f_t)\)，乘积法则给

由 \(\Delta f=-[F/t+(\alpha-1)|\nabla f|^2]/\alpha\)，代入矩阵不等式，得到上一块的核心负平方项。

这是整个估计的计算核心，不能只报最终结论。

把交叉项用 Young 不等式吸收

乘上一块的核心不等式，用最大点处 \((\partial_t-\Delta)G\geq0\)。

截断导数项用上述界，\(\nabla f\cdot\nabla\eta\) 用 Young 吸收入负平方项，得

在内球 \(\eta=1\)，除以 \(t\) 就是局部梯度估计。

以教材的 α=2 展示吸收

令 \(q=|\nabla f|^2\)。核心式可略去负的 \(q^2\) 项，得到 \(LF\le F/t+2\nabla f\cdot\nabla F-F^2/(2nt)-qF/n\)。

交叉项 \(2F|\nabla f||\nabla\eta|\) 由

吸收。其余截断项为 \(CF/R^2\)，最终 \(G\le2n+Ct/R^2\)。缩放还原即得局部估计。

古代正解的单调性

若正解定义于 \(( -\infty,0]\times\mathbb R^n\)，把初始时间平移到 \(-T\)，得到右端 \(n/[2(t+T)]\)。

令 \(T\to\infty\)，有 \(u_t/u\geq|\nabla u|^2/u^2\geq0\)。所以正古代解随时间单调不减。

常数不是唯一正古代解，如 \(e^{t+x_1}\)。

两种平移共同消掉时间

因此 \(u_t=0\)，热方程化为 \(\Delta u=0\)。

\(u\) 是全空间有界调和函数，由 Liouville 定理得到常数。

证明链：正解梯度估计 → 古代正解时间单调 → 有界解时间不变 → 调和 Liouville。

每个箭头都用到了额外条件；把“有界”去掉，结论就错。

两条路线：比较与内部估计

同一初边值问题作差，用最大、最小值原理：

梯度估计：在远离初始时刻和空间边界的子柱中，利用辅助量控制导数。

上式取 \(\kappa=1\)；配合截断函数建立局部估计。

“古代解”指时间可延伸至 −∞ 的解。

证明的关键配平方

沿匀速线段 \(\gamma(s)=x,\gamma(t)=y\)，

积分得 \(f(t,y)-f(s,x)\geq-|x-y|^2/[4(t-s)]-(n/2)\log(t/s)\)。取指数完成。

空间走一步，时间也前进一步

对内含紧集选有限球链 \(y_0=x,\ldots,y_N=y\)，每步在同一内球内。

把 \([s,t]\) 分成 \(N\) 份，比较 \(u(s_j,y_j)\) 与 \(u(s_{j+1},y_{j+1})\)，逐次相乘。

不能在同一时刻沿链套用抛物 Harnack；时间必须往前留出间隔。

最大值版本

若 \(u\leq M\)，在内部正时刻取到 \(M\)，对 \(M-u\geq0\) 使用上述结论。

所以在相应过去的连通部分 \(u=M\)。

不能据此断言未来也恒为常数：未来边界数据仍可能改变。

平坦初值留下非平凡演化

教材给出 \(|g^{(k)}(t)|\le k!(ct)^{-k}e^{-1/(2t^a)}\)。阶乘分母保证紧集上级数和所需导数收敛；指数平坦性保证初始各阶导数为0。

但是 \(u(t,0)=g(t)>0\)。所以零初值不再唯一。

此例增长超出了下面 Gaussian 增长类；它没有推翻有界解的唯一性。

先扩大球，再让 ε 趋零

最大值原理给 \(|w(t,x)|\leq\epsilon(|x|^2+2nt+1)\)。固定点令 \(\epsilon\to0\)，得 \(w=0\)。

教材还讨论 \(Ce^{A|x|^2}\) 类增长：先取足够短的时间片，用 Gaussian 型屏障，再逐段延拓。

若完全不限制无穷远增长，不能直接宣称 Cauchy 唯一性。

先大球、再小系数、再拼时间片

令 \(v=u-\delta V\)。在足够大的侧球面，\(v\to-\infty\)，故有界柱极值原理给 \(v\le\sup u(0,\cdot)\)。

固定点，先令球半径趋无穷，再令 \(\delta\downarrow0\)，得上界。对零初值差解的正负分别应用，得差为0。

一般 \(T\) 分成长度小于 \(1/(8A)\) 的有限时间片，逐片传播唯一性。

“用 Gaussian 屏障”到这里才成为一条可核查的证明。

从核的正性与质量得估计

\(\varphi\geq0\Rightarrow P_t\varphi\geq0\)。

同理由 Young 不等式得到各 \(L^p\) 的收缩（适当初值类别）。

导数与半群交换，再用 Jensen

对 \(f\in\mathcal S\)，分部积分给 \(\nabla P_tf=P_t\nabla f\)。

核是概率权重，所以对 \(p\ge1\)：

这是逐点不等式；再积分还能导出梯度的 \(L^p\) 收缩。

把 \(p=2\) 代入，下一块将同时给出反向控制。

证明写成三步

① \(e'(t)=-2\int|\nabla u|^2\)。② Poincaré 给 \(e'\leq-2\lambda_1e\)。

③ \((e^{2\lambda_1t}e(t))'\leq0\)，积分即得结论。

若是绝热 Neumann 边界，为什么不能直接得到衰减到0？常数模态不衰减。

把前一块估计在两边各用一次

一方面 \(P_s|\nabla P_{t-s}f|^2\ge|\nabla P_tf|^2\)。

另一方面 \(|\nabla P_{t-s}f|^2\le P_{t-s}|\nabla f|^2\)，再用组合律。

对 \(s\) 积分：

中间是核权重下的方差，天然非负。

把解看成演化算子

全空间 \(P_t\varphi=H(t,\cdot)*\varphi\)。

正性保持，\(L^\infty\) 收缩：

有界区域、零 Dirichlet 边界（\(\kappa=1\)）：

其中 \(\lambda_1\) 是 \(-\Delta\) 的第一特征值。

选择边界后再消项

零 Dirichlet 因 \(u=0\) 消项；零 Neumann 因 \(\partial_\nu u=0\) 消项。

对时间积分：\(E(t)+\kappa\int_0^t\|\nabla u\|_2^2ds=E(0)\)。

热方程的能量在消耗，而不是守恒。

源项不相同时

\(w_t-\kappa\Delta w=h\)，零边界。Cauchy–Schwarz / Young 给

乘 \(e^{-t}\) 积分即可用初始差与源项差控制 \(E(t)\)。

再求一次导数

因 \(w_t=0\) 于边界，分部积分得 \(e''=4\int(\Delta w)^2\)。

Cauchy–Schwarz：\((e')^2\leq e e''\)。

于是只要 \(e>0\)，\((\log e)''=(ee''-(e')^2)/e^2\geq0\)。

这里需要比第一能量式更高的可微性；一般解用正时间逼近处理。

让 r 逼近首次零点

\(r\uparrow b\) 时 \(e(r)\to0\)，故 \(e(t)=0\)，与首次零点前正能量矛盾。

所以 \(e(T)=0\) 强迫此前始终为零，\(w=0\)。

“唯一”只排除两种不同过去，不等于从终态恢复过去是稳定的。

但过去并未趋零

\(u_k(-T,x)=\sin kx\)，其 \(L^2\) 范数恒为 \(\sqrt{\pi/2}\)。

终态任意小的高频误差可以对应不小的过去误差。

这给出逆映射不连续；与上一块的倒向唯一性并不矛盾。

教材的任意放大构造

区间取终态 \(\varphi_k=\varepsilon\sqrt{2/\pi}\sin kx\)，则 \(\|\varphi_k\|_2=\varepsilon\)。

其过去为 \(u_k(-t_0)=e^{k^2t_0}\varphi_k\)，故范数为 \(\varepsilon e^{k^2t_0}\)。

对任意 \(M>0\) 选 \(k^2\ge t_0^{-1}\log(M/\varepsilon)\)，过去误差至少为 \(M\)。

倒向唯一性仍成立，但逆映射不连续。

“唯一”不等于“稳定”

同一源项、同一边界条件下，教材讨论：两解在终时刻相同，是否能推出过去相同？

在所述光滑解类别中有倒向唯一性，但反向恢复数据仍可能不稳定。

第 \(k\) 个模态从终时刻向过去恢复时：

高频误差被指数放大。即使能够唯一恢复，也不能保证稳定恢复。

正定性承担什么作用

左边梯度项至少为 \(\lambda\|\nabla u\|_2^2\)，故仍有扩散耗散。

积分后不必逐项展开系数导数，散度结构已经把它们组织好了。

积分因子给结论

乘 \(e^{-Ct}\)，得到 \((e^{-Ct}E)'\leq Ce^{-Ct}\|f\|_2^2\)。

积分得 \(E(t)\leq e^{Ct}(E(0)+C\int_0^t\|f\|_2^2ds)\)。

差解的数据为零就给唯一性；小数据则给有限时间稳定性。

存在性不是一句“能量法”

① 用有限个基函数设 \(u_N=\sum_{k=1}^Na_k(t)\phi_k\)，得到有限维线性 ODE。

② 能量估计给 \(L^\infty_tL^2_x\)、\(L^2_tH_0^1\) 和时间导数对偶范数的一致界。

③ 弱紧性提取子列，对测试函数积分式取极限，恢复初值。

④ 差解的能量估计给唯一性。

教材引用的一般存在定理依赖这些函数空间工具，不能把路线当作已经写完所有紧性细节的证明。

定性结论也要从公式读出

\(e^tu\to\sin x\)，所以第一模态主导长期形状。

\(\|u\|_2^2=\frac\pi2(e^{-2t}+e^{-8t})\)，与能量衰减一致。

如果第一模态系数为零，长期衰减速度会怎样改变？

核对初值的方式

光滑相容初值可查逐点、连续到角点；\(L^2\) 初值通常先查 \(L^2\) 收敛。

如果只写“令 t=0”而没有收敛理由，证明还缺了一步。

选择方法的同时，也要选择正确的解与收敛类别。

学生独立完成

为初值差 \(w_0\) 的零边界热方程写一条 \(L^2\) 稳定估计，再写一条 \(L^\infty\) 估计。

对照答案：\(\|w(t)\|_2\leq\|w_0\|_2\)，\(\|w(t)\|_\infty\leq\|w_0\|_\infty\)。

分别指出使用的是能量法还是极值法。

空间解析不等于时间也解析

教材取初值 \(\varphi(x)=1/(1+x^2)\)。形式上 \(\partial_t^ku(0,0)=\partial_x^{2k}\varphi(0)=(-1)^k(2k)!\)。

时间 Taylor 系数为 \((-1)^k(2k)!/k!\)，任意非零时间下级数项都不能趋零，所以在初始点的时间 Taylor 级数半径为0。

定理的内部光滑性与初始面的时间解析是不同命题，不能混为一谈。

一张选法清单

有界区间、齐次边界 → 谱展开。
全空间、常系数 → Fourier / 热核。
唯一性与稳定性 → 极值 / 能量。

单元自测：\(0

求出公式后，仍要检查初值与边界。

为什么张力可以写成斜率差

小段 \([x,x+h]\) 两端竖直张力差约为 \(T[u_x(t,x+h)-u_x(t,x)]\)。

Newton 定律左边为质量 \(\rho h\) 乘横向加速度 \(u_{tt}\)。

这里用的是小振幅线性化，不是对任意大形变都精确。

局部模型与波速

若有单位长度外力 \(F\)，右端增加 \(F/\rho\)。

量纲检查：\(T/\rho\) 量纲为长度平方/时间平方，所以 \(c\) 是速度。

有限弦与无限弦

固定端：\(u(t,0)=u(t,L)=0\)。自由端可对应 \(u_x=0\)。

全直线 Cauchy 问题没有有限端点，但仍要说明数据正则性和所求解类别。

同样的 \(\varphi\)，改变 \(\psi\)，运动会相同吗？

边界会改变能量形式

普通能量 \(E=\frac12\int(u_t^2+|\nabla u|^2)\)，其导数为 \(\int_{\partial\Omega}u_t\partial_\nu u\)。

弹簧边界给 \(E'=-\frac\sigma2(\int_{\partial\Omega}u^2)'\)，应加上边界弹性势能。

阻尼边界给 \(E'=-\beta\int_{\partial\Omega}u_t^2\le0\)。

同样称“齐次边界”，并不意味着能量边界项都直接为0。

再用方程联系二阶空间导数

齐次波方程给 \(u_{tt}(0,0)=c^2\varphi''(0)=0\)。所以还需 \(\varphi''(0)=0\) 等更高阶相容。

若数据不满足，仍可能在较弱意义下求解，但不能声称具有所有角点光滑性。

左右叠加与初值

\(F(x-ct)+G(x+ct)\) 仍是解，因为方程线性。

在 \(t=0\)：\(F+G=\varphi\)，\(-cF'+cG'=\psi\)。

下一课就从这两条式子解出左右行波的份额。

二阶时间导数需要两份初值

分别是初始位形与初始速度。

有限弦还要有端点条件，例如固定两端：

若要求光滑到角点，则相应阶数的初值、边界数据应相容。

课堂辨析：同一初始形状，是否可能产生不同的振动？

展开后相消

故波方程化为 \(u_{\xi\eta}=0\)。积分得 \(u=F(\xi)+G(\eta)\)。

特征线是这两个新坐标保持不变的直线。

积分并代回

\(F'=\tfrac12\varphi'+\psi/(2c)\)，\(G'=\tfrac12\varphi'-\psi/(2c)\)。

积分常数在和中按初位移匹配，得到

用一般行波形式证明唯一

任何经典解在特征坐标下满足 \(u_{\xi\eta}=0\)，因此都可写成上述行波和。

零初值使 \(F+G=0\)、\(F'-G'=0\)，所以 \(F,G\) 是互为相反数的常数，解为零。

初值公式不只是候选，它覆盖了全部经典解。

解释两种等价描述

行波观点：两个半幅波向相反方向走。

驻波观点：空间节点固定，时间因子振荡。

写出初速度为 \(\sin kx\)、初位移零时的解，核对多出来的 \(kc\) 因子。

反射前后分开写

当 \(0<t\le x\)，积分与两个端点都在正半线，用原始初值即可。

当 \(t>x\)：

反射波的位移反号。自由端改用偶延拓，反射不反号。

要得到经典解，奇延拓需相容：\(\varphi(0)=\varphi''(0)=0\)、\(\psi(0)=0\)。

三角形区域上的公式

加上齐次初值公式即为总解。求导时积分端点产生源项 \(f(t,x)\)。

积分区域正是点 \((t,x)\) 的过去特征三角形。

初位移 ＋ 初速度的影响

\(\psi=0\)：初始波形分裂为两个半幅行波。

\(\varphi=0\)：位移由依赖区间内初速度的积分决定。

令 \(t=0\) 并求一次时间导数，逐项检查两份初值。

用散度定理求径向关系

\(r^2\partial_rM_u\) 等于 \(1/(4\pi)\) 乘球内 \(\Delta u\) 的积分。

再对 \(r\) 求导：\(M_{rr}+2M_r/r=M_{\Delta u}\)。

所以 \(M_{tt}=c^2(M_{rr}+2M_r/r)\)。

在 r=0 的对称性

球平均关于 \(r\) 偶对称，故 \(v=rM\) 奇对称，可把它延拓到整个 \(r\) 轴。

\(v(0,r)=rM_\varphi(r;x)\)，\(v_t(0,r)=rM_\psi(r;x)\)。

现在就可以用上一课的一维公式。

对 r 求导后令 r=0

\(u(t,x)=M_u(t,0;x)=v_r(t,0)\)。

利用 \(a'\) 偶、\(b\) 奇，得到

这就是 Kirchhoff 表示。

两份初值分别检查

球面对称性给 \(M_\psi(x,0)=\psi(x)\)，\(\partial_rM_\psi(x,0)=0\)。因此 \(v(0)=0\)，\(v_t(0)=\psi\)。

对初位移取 \(\partial_t[tM_\varphi]\)，其初值为 \(\varphi\)、初速度为0。

两项相加即 Kirchhoff 解。足够的条件为 \(\varphi\in C^3\)、\(\psi\in C^2\)。

球平均法不仅导出候选式，也给出回代验证的路径。

把 t→0 的两份数据核对

球面对称使 \(M_h(r,x)=h(x)+O(r^2)\)。

因此 \(\partial_t[tM_\varphi(ct)]=\varphi+O(t^2)\)，\(tM_\psi(ct)=t\psi+O(t^3)\)。

得到 \(u(0)=\varphi\)、\(u_t(0)=\psi\)。

停下来画图

固定观察点 \(x\)，画出半径随 \(t\) 增大的球面。

扰动先到达、再离开；球内早已经过的部分不会继续在公式中出现。

此结论针对这里的三维齐次、常系数波；不要无条件推广到任意系统。

只需过去球面上的数据

光滑初值 \(u(0)=\varphi\)，\(u_t(0)=\psi\)：

等价地，\(M_h(ct,x)\) 是球面 \(\partial B_{ct}(x)\) 上的平均。

数据来自球面，不是整个球体。这里埋下了三维 Huygens 原理的线索。

常数初值与常数初速度，公式给出什么？

为什么可以这样取解

三维 Kirchhoff 公式对与 \(x_3\) 无关的数据，平移中心第三坐标不改变结果。

所以公式生成的解确实与 \(x_3\) 无关，降维是自洽的。

下一步要计算球面投影后的面积权重。

上下两半加起来

这一步解释了平方根分母与系数 \(1/(2\pi c)\)，并非凭空写出的核。

把移动积分域固定下来

令 \(y=x+ctz\)，则

权重可积，正则性充分时可在固定圆盘内求导；这比对移动奇异边界直接求导更清楚。

恢复初值

一般光滑 \(h\)，对称性消去一阶空间项，得到 \(A_h=th(x)+O(t^3)\)。

所以 \(\partial_tA_\varphi+A_\psi=\varphi+t\psi+O(t^2)\)，两份初值正确。

取 \(\varphi=a,\psi=b\)，应得到 \(u=a+bt\)。

用初速度为例看得最直接

若 \(\varphi=0\)、\(\psi\geq0\) 紧支撑，且支撑已在圆盘内部，积分仍可能为正。

所以有限传播并不意味着前沿过后立刻归零。

三维的“无尾波”与二维的“有尾波”都能从显式公式中读出。

圆盘内部也会留下影响

光滑初值下，这是二维波方程的 Poisson 表示。

为处理积分域与边界奇性，可作 \(y=x+ctz\)，把积分域固定在单位圆盘。

二维依赖整个圆盘中的数据，所以会有“尾波”；与三维只依赖球面不同。

注意：这是波方程的 Poisson 公式，不是第2章的调和 Poisson 核。

比较两组数据的证明

一维公式中只有该区间的两端初位移与区间内初速度积分。

两组数据在这个区间一致，解值就一致。

依赖域描述“某个观察点读哪些过去数据”。

证明

若 \(|x|>R+ct\)，依赖球 \(B_{ct}(x)\) 与初始支撑不相交，相关数据全为零。

由显式公式或局部唯一性，\(u(t,x)=0\)。

这就是有限传播速度；边界前沿最快以 \(c\) 向外扩张。

为什么二维不同

二维圆盘已经包含支撑，积分未必为零；扰动留下尾波。

一维速度积分也可能在前沿过后留下非零常量区域。

取紧支撑初速度且积分非零，检查一维 d’Alembert 公式的大时间行为。

热核处处为正

热核 Gaussian 对所有距离都为正，因此非负、非零初值瞬间影响全空间。

这不是计算误差，而是两个模型时间结构的差异。

画同一初始凸起：波有有限前沿，热有快速衰减但处处非零的尾部。

再给一个终点

对 \((2,5)\)，依赖区间是 \([3,7]\)，不碰初始支撑，因此解为零。

对 \((2,0)\)，依赖区间是 \([-2,2]\)，能受扰动，但“能受影响”不代表一定非零。

支撑包含关系通常给可能范围，不是非零点集合的精确等号。

有限传播 ≠ 没有尾波

三维齐次波：Kirchhoff 公式只取球面数据，局部扰动形成波前并能完全离开观察点。

二维：圆盘内数据都有影响，波前过后仍可有尾波。

一维：初速度项在整个区间积分，不能一概说没有尾波。

热方程：瞬时全空间影响。
波方程：速度受 c 限制。

用一张图区分某点的依赖域与初始扰动的影响域。

波方程的特征条件

一维取 \(\Phi=x-ct\)，直接代入为零。椭圆算子正定，非零法向没有这样的零值。

辨型与传播在这里通过主部联系起来。

代回方程两侧的差

低阶项因连续而无跳跃；主部给

若跳跃非零（\(a\ne0\)），就必须满足特征条件。

这证明了二阶弱间断只能出现在特征曲面上。

方程两侧相减

主部变换后，纯法向项系数为

两侧方程相减给 \(\widetilde a_{nn}[u_{\xi_n\xi_n}]=0\)。

若确有非零跳跃，必有 \(\sum a_{ij}\phi_i\phi_j=0\)，即 \(S\) 是特征曲面。

本定理针对一阶连续的弱间断；不能不加条件推广到任意激波。

沿行波轨迹移动

\(u(t,x)=F(x-ct)\) 在光滑部分满足波方程，并在分布意义下也满足它。

二阶导数的跳跃位于 \(x-ct=\pm1\)，正是特征线。

用分布求导时没有一阶导数跳跃产生的额外 Dirac 项。

估计公式的每一项

\(tM_\psi\) 因而是 \(O(t^{-1})\)；\(\partial_t(tM_\varphi)=M_\varphi+ct\frac1{4\pi}\int_{\mathbb S^2}\nabla\varphi\cdot\omega\)，同样受 \(O(t^{-1})\) 控制。

常数依赖支撑大小与初值的足够多阶范数。

衰减谈的是全空间振幅，不是固定有限弦的驻波。

衰减并不意味着能量消失

三维波能量分布到越来越大的空间范围；振幅下降可以与总能量守恒同时成立。

比较一条固定弦的驻波和全空间向外扩散的球面波，解释几何上的差别。

更精细衰减常数与维数条件依教材 §4.3.4 逐项核对。

维数影响长期行为

对光滑、紧支撑初值：

三维波在全空间的典型一致衰减量级为 \(t^{-1}\)；二维为 \(t^{-1/2}\)（大时间）。

一维平移行波的幅度并不因此衰减。

讨论衰减时要说清：维数、数据的支撑/正则性，以及在哪个范数中测量。

能量守恒与点态振幅衰减矛盾吗？考虑波能量向更大的空间散开。

时间方程不再是衰减 ODE

\(T_k''+c^2\lambda_kT_k=0\)。

同一空间谱，在热方程和波方程中对应不同时间演化。

初速度系数别忘频率

求一次时间导数后在0时只留下 \(B_k\omega_k\)。所以

少除一个 \(\omega_k\)，会在哪条初值检查中暴露错误？

为什么波没有热的自动平滑

正弦、余弦的幅度不会随频率衰减；求导带来的 \(k^2\) 必须由初值系数抵消。

因此不能把热方程的 \(t>0\) 指数平滑论证照搬过来。

较弱初值可用能量空间的收敛定义弱解。

加权 Cauchy–Schwarz 控住一致收敛

\(B_k\) 同理。因此二阶时空导数级数一致收敛，可以逐项代入方程并连续接到初边界。

较弱的能量初值仍可构造能量解，但不能直接称为经典解。

\(\cos\omega_kt\) 不会压住高频，所以初值的正则性必须承担求导负担。

把初速度也加入

若 \(\psi=v\sin(2\pi x/L)\)，对应时间因子增加 \(v\sin(\omega_2t)/\omega_2\)。

振幅与相位改变，但空间模态不变。

初位移和初速度都可激发同一频率的不同相位。

结果、奇偶与解的类别

偶数模态为0，奇数模态交替符号；初始中点折角会随波传播。

初位移分段线性、属于 \(H_0^1\)，故该式给能量解；不能套用上一块 \(C^3\) 假设宣称全域经典二阶光滑。

教材的具体例题要连同解的类别一起讲。

受迫模态的公式

零初值响应为 \(a_k(t)=\int_0^t\sin(\omega_k(t-s))f_k(s)/\omega_k\,ds\)。

加齐次响应后再补回 \(h\)，并重新核对初值。

初位移、初速度和源项

再叠加由 \((\widetilde\varphi,\widetilde\psi)\) 产生的自由波和零初值 Duhamel 受迫波，最后加回 \(h\)。

若端点按恒速度移动，\(h_{tt}=0\)，哪份数据仍会改变？初速度。

减边界插值后不能沿用原来的两份初值。

两份初值分别定系数

检查：零边界、两份初值、级数可求导性与角点相容条件。

热：\(e^{-\kappa\lambda_kt}\) 衰减。
波：\(\cos\omega_kt,\sin\omega_kt\) 振荡。

先把导数逐项展开

代入 \(u_{tt}=c^2\Delta u\)，分部积分得 \(E'=c^2\int_{\partial\Omega}u_t\partial_\nu u\)。

尚未使用边界条件，先保留这一项。

两个解作差

同一数据的差 \(w\) 有零初始能量，所以 \(w_t=0\)、\(\nabla w=0\)。

还要由初位移 \(w(0)=0\) 或边界条件消除常数，才能推出 \(w=0\)。

“梯度为零”本身只说明空间上是常数。

再控制位移本身

零 Dirichlet 条件下 Poincaré 不等式给 \(\|w\|_2\leq\lambda_1^{-1/2}\|\nabla w\|_2\)。

于是初值在自然能量范数中接近，解在以后所有时间仍受控制。

这是指定范数中的稳定性，不是任意高阶范数都自动稳定。

从 Cauchy–Schwarz 到积分界

\(E'\leq\sqrt{2E}\|f\|_2\)。用 \(E+\epsilon\) 正则化平方根再令 \(\epsilon\to0\)，得

差解也可用它估计不同源项的影响。

用正确能量完成唯一性

对同一初值的两解作差，初始 \(E_\sigma=0\)，所以 \(u_t=0\)、\(\nabla u=0\)，且边界上的 \(u=0\)。

连通性排除剩下的空间常数，故差解为0。

额外的边界项是非负的弹簧势能；忽略它就不能正确使用守恒。

不要跳过额外论证

取 \(c=1\)，令 \(F=\int uu_t+\gamma\|u\|_2^2/2\)，计算得 \(F'=\|u_t\|_2^2-\|\nabla u\|_2^2\)。

由 Poincaré，小 \(\epsilon>0\) 时 \(E_\epsilon=E+\epsilon F\) 与 \(E\) 等价，而 \(E_\epsilon'=-(\gamma-\epsilon)\|u_t\|_2^2-\epsilon\|\nabla u\|_2^2\leq-\delta E_\epsilon\)，积分得指数衰减。

与无阻尼守恒及热方程耗散比较，指出三个模型各自的能量通道。

乘以 x u_x，得到辅助恒等式

令 \(I(t)=\int_0^1xu_xu_tdx\)。分部积分，\(x=0\) 端不贡献边界项，得

并有 \(|I|\le E\)，由 \(2|u_xu_t|\le u_x^2+u_t^2\)。

第二恒等式把内部总能量与边界可见的耗散连接起来。

积分因子给出所需衰减率

因此

常数只依赖边界阻尼参数。这里证明了严格的指数衰减，而不仅是能量单调。

体阻尼通过区域内部耗能，边界阻尼通过端点耗能；两者的指数衰减证明需分别建立。

把守恒式用于两个解的差

设 \(w=u-v\)，两解有同一源项与同一齐次边界。

初值相同 ⇒ 初始差能量为零 ⇒ \(w_t=0\)、\(\nabla w=0\)，由边界或初位移得 \(w=0\)。

初值接近时，差能量一直受初始差能量控制。

能量估计给出自然的稳定性范数；不自动给出任意范数的稳定性。

移动边界求导公式

对 \(e=(w_t^2+c^2|\nabla w|^2)/2\)：

球的收缩速度是 \(-c\)，所以第二项为负。

配方或基本不等式

于是 \(E_K'\leq0\)。这给局部能量单调性，不需要假定总空间能量有限。

有限传播的估计在每一个有限锥中完成。

补上函数值的结论

锥内 \(w_t=0\)、\(\nabla w=0\)，从底面零初位移得到锥内 \(w=0\)。

连续性令 \(t\uparrow T\)，给 \(w(T,x_0)=0\)。

若初值全空间相同，对任意锥顶都成立，即得唯一性；若只局部相同，就得有限依赖。

计算与条件

\(A\) 与时间无关时，同样分部积分得到 \(E'=\int fu_t\)（零边界）。

若 \(A=A(t,x)\)，还会出现 \(\frac12\int\nabla u\cdot A_t\nabla u\)，须用系数界估计。

变系数局部传播锥还取决于主部的速度上界，不能总写同一个常数 c。

缩小锥的速度取主部上界

若主部一致正定且有界，取 \(c_*\) 满足 \(\xi^TA\xi\le c_*^2|\xi|^2\)。

对包含 \(u^2\) 的局部能量，在半径 \(R-c_*t\) 的球内计算。侧面项由 \(2ab\le a^2+b^2\) 控成非正，系数导数与低阶项给 \(E'\le CE\)。

初球上两份数据相同，则局部差能量初始为0，Gronwall 给锥内相同。

所以变系数波仍有有限传播。

全空间

用局部锥能量，锥侧面通量由收缩几何压成非正。

不必为了唯一性先对整个空间积分，避免额外的无穷远可积性要求。

指出两种证明中“阻止外界能量进入”的步骤分别在哪里。

从常速到变系数

典型模型：

当 \(A\) 对称一致正定时，可构造对应能量

低阶项、系数正则性与边界条件决定能量估计的具体形式。

Cauchy 问题的唯一性为何要控制信息从无穷远进入的可能？局部能量给出有限依赖。

让学生先口头说明选法

全直线初值题、固定端弦题、局部扰动题、不同数据比较题，分别选一个主工具。

不是记住一张万能公式，而是读懂区域、条件与目标。

再计算能量

\(u_t=-2\sin2t\sin2x\)，\(u_x=2\cos2t\cos2x\)。

利用两种平方积分都为 \(\pi/2\)，得 \(E=\pi\)。

每个因子前的2都影响最终能量，不能只凭“守恒”猜常数。

把能量为零转成函数为零

因此 \(w_t=0,w_x=0\)。由 \(w(0,x)=0\) 得 \(w\equiv0\)。

这给全部所述经典解中的唯一性，而不仅是正弦级数形式里的唯一性。

给出比粗支撑更细的描述

时刻 \(t\) 的支撑包含于两个平移区间 \([t-1,t+1]\) 与 \([-t-1,-t+1]\)。

它们整体又包含于 \([-1-t,1+t]\)。前者利用了零初速度，后者是一般有限传播界。

加上初速度后，两个半波之间为什么可能不为零？

一次完整的课程回答

写清模型、条件、公式或估计，再说明现象。

若论证有角点相容、支撑或范数条件，就在结论前注明。

用一页纸把“公式—传播—能量—唯一性”的逻辑画出来，作为本章小结。

单元练习

区间 \((0,\pi)\)，两端固定，\(c=1\)。

① 写出解。② 计算能量。③ 证明唯一性。

若换成全空间且初始数据紧支撑，如何描述传播区域？

两条旋度演化方程

散度方程是约束，旋度方程描述演化；它们不能任意分别指定。

归一化单位后常数可以简化，但推导时要保持一致。

Stokes 定理给曲线的环量

对定向曲面 \(S\)：

曲线方向与法向按右手法则配对。位移电流项使时变电场与磁场联结。

代入 Gauss 约束

\(\nabla\cdot E=\rho/\epsilon\) 给 \(\rho_t+\nabla\cdot J=0\)。

反过来，在有连续性方程时，Gauss 约束的误差 \(\nabla\cdot E-\rho/\epsilon\) 随时间不变。

所以初始时满足约束，之后也会保持。

为什么这个恒等式重要

无源时散度为零，所以“旋度的旋度”等于负 Laplace。

这样一阶向量系统可以导出二阶波动方程。

若散度不为零，哪一项不能删？

磁场同理

对 \(\nabla\times B=\mu\epsilon E_t\) 取旋度，再代入 Faraday 定律，得 \(B_{tt}-c^2\Delta B=0\)。

满足波方程只是必要条件；初始散度约束和一阶旋度关系仍须满足。

磁场的源由电流旋度决定

对 \(\nabla\times B=\mu J+\mu\epsilon E_t\) 取旋度，使用 \(\operatorname{div}B=0\)：

所以 \(B_{tt}-c^2\Delta B=\epsilon^{-1}\operatorname{curl}J\)。

无源区两式退化为自由波；有源式说明电荷、电流怎样激发波动。

常数关系 \(c^2\mu=1/\epsilon\) 可用来交叉检查单位与系数。

改写为局部收支

恒等式 \(\nabla\cdot(E\times B)=B\cdot\nabla\times E-E\cdot\nabla\times B\)。

所以 \(e_t+\nabla\cdot S=-J\cdot E\)，\(S=(E\times B)/\mu\)。

区域积分后，边界通量与电流做功给出总能量变化。这与前面波动能量的思路一致。

无源情形：波方程出现了

令 \(\rho=0,J=0\)，对 Faraday 定律取旋度：

用恒等式 \(\nabla\times\nabla\times E=\nabla(\nabla\cdot E)-\Delta E\)：

磁场同样满足波方程，但散度约束仍需保留。

仅满足向量波方程，是否就满足完整的 Maxwell 系统？

把定义写成集合等式

任意可测目标集合 \(B\)，\(\int_{T^{-1}(B)}f(x)dx=\int_Bg(y)dy\)。

这只要求质量守恒，还没选最省钱的搬运方式。

优化之前，先明确可行映射的约束。

与推前定义相比较

两式对所有目标集合成立，所以

一般非光滑映射要在更弱意义下表达质量守恒；此处先推导经典公式。

存在性依靠紧性与下半连续

在非负下半连续代价且存在有限成本方案等条件下，取极小化序列。

固定边缘使方案族紧：两边缘质量都集中于大紧集时，联合质量也集中于其乘积紧集。

弱收敛子列保留边缘；成本积分的下半连续性保证极限达到下确界。

二次成本常用有限二阶矩保证有限成本；一般概率测度不应无条件宣称成本有限。

先用二维交换解释单调性

离散最优匹配中，交换两条路线不能降低代价：

展开即得 \((x_1-x_2)\cdot(y_1-y_2)\geq0\)。多点交换给循环单调性，这是凸势结构的核心入口。

凸性为什么关乎椭圆性

对正定 Hessian，行列式的线性化系数为余子式矩阵 \(\operatorname{cof}(D^2\phi)\)，它也正定。

所以在凸分支上有椭圆结构；若失去凸性，不能直接沿用同样的椭圆理论。

还需 \(\nabla\phi(\Omega)\) 匹配目标区域的传输边界约束。

微分后核对 PDE

求导得 \(g(T)T'=f\)，正是一维 Jacobian 等式。

取 \(\phi'=T\)，则 \(\phi''=f/g(\phi')\geq0\)，所以势凸。

高维行列式方程，可看成一维质量平衡的非线性推广。

从行列式走到 Laplace

算术—几何平均不等式给

于是通过散度定理，体积下界会转成边界面积下界。

此处先讲光滑势下的核心计算；一般凸势须用弱导数、逼近和相应迹理论补足严谨性，不能假定 Brenier 势自动全局光滑。

缩放回任意体积并看等号

这是同体积下球的边界面积最小。

光滑等号情形要求 Hessian 特征值全相等，且行列式为1，故 \(D^2\phi=I\)，映射为平移，区域为球。

这一应用把凸性、Jacobian、特征值不等式与 Green 公式连成了一条完整论证。

二次代价带来凸势

在适当假设下，二次代价的最优映射可写作 \(T=\nabla\phi\)，其中 \(\phi\) 凸。

在光滑、目标密度为正的情形：

这就是 Monge–Ampère 型方程；另需匹配目标区域的传输边界条件。

未知量进入 Hessian 的行列式，因此是完全非线性方程。凸性选择了椭圆分支。

定义值函数

\(V(t,x)=\inf_aJ(a;t,x)\)。终时刻没有剩余运行成本，所以 \(V(T,x)=g(x)\)。

状态方程的适定性与可允许控制类别必须先保证成本有意义。

先确定“优化什么”，再推 PDE。

再证明 ≤

前一小段选择近似最优控制，之后接一个该终点的 \(\epsilon\)-最优策略。

拼接允许且成本可加时，完整代价不超过右式加任意小误差。

令误差趋零，得到等号；不必假定最优控制一定取到。

用近最优控制得到反向关系

在紧性、连续性等使短时误差一致可控的条件下，代入近最优短控制，再让误差与 \(h\) 一起趋零，得到相反不等式。

“取下确界”与“小时间展开”需要这些可控条件。

若反馈取到 Hamiltonian 的最小值

在可实现且有解的反馈轨线上，上述不等式成为等式，故其成本恰为 \(V\)，策略最优。

这就是经典验证定理的基本证明。

还须检查反馈的可测性、状态轨线存在及终端条件，不能只写形式最小值。

除以 h 后误差才能消失

积分内不小于 \(V_t+\inf_a\{\nabla V\cdot b+r\}\)。在控制集合紧、相关系数连续等保证短时一致性的假设下，令 \(h\downarrow0\) 得其不大于0。

与任意恒定控制得到的另一方向合并，即 HJB 等式。

若固定误差为 \(\varepsilon\) 再除以 \(h\)，误差会爆掉，证明并不成立。

先掌握动机与判据

为处理终值控制问题，取算子 \(F=-V_t+\sup_a\{-b\cdot\nabla V-r\}\)。上接触测试给 \(F[\phi]\leq0\)，下接触给反向不等式；这个符号约定与动态规划一致。

完整黏性解理论超出本次短专题；这里先解释为何广义解概念是必要的。

小时间展开得到方程

假设 \(V\) 足够光滑，沿轨线展开，减去 \(V(t,x)\)，除以 \(h\)，令 \(h\downarrow0\)：

值函数可能不可微：经典解概念不够用，这引出黏性解的动机。

本课先掌握推导路线；不把形式展开当作一般情形的完整存在性证明。

一眼区分的数据

椭圆边值问题主要给边界；热问题给一份初值和侧边界；波问题给两份初值和侧边界。

这是典型模型的基本配置，具体问题仍须检查适定性与相容。

估计路线

没有显式公式时，极值与能量仍可控制大小、唯一性和稳定性。

给一个不规则区域上的零边界热方程，虽然无法写显式核，能否证明唯一性？用两种方法回答。

波方程乘 u_t

\(\frac12(\|u_t\|_2^2+\|\nabla u\|_2^2)'=0\)：守恒。

局部化到锥就得到有限传播与局部唯一性。

选乘子不是随意操作，它决定了要观察的物理量。

标准解答结构

源项相同 ⇒ 差 \(w_t-\Delta w=0\)，初值与边界为零。乘 \(w\) 积分得非负能量不增，初值为零 ⇒ \(w=0\)。

再问：若源项不同，哪一行要改成估计？这检验的是方法迁移。

把证明习惯留下来

每条结论附假设，每次分部积分写边界，每个极限说明依据，每个显式解回代验证。

选择一条自己最熟悉的定理，按“陈述—关键构造—证明—应用”讲给同学。

板书结束后，能独立重写这条论证，才算把知识带走。

一道问题的完整回答

1. 模型：未知量、守恒与本构。
2. 定解：区域、初值、边界条件。
3. 方法：公式、谱、Green、极值、能量。
4. 性质：存在、唯一、稳定与传播。

展示题：选一个应用，说明为什么采用这类方程，哪些条件不可省略。

回查目录中的对应节，补全证明细节与习题；将本学期错题按“条件漏写、符号、方法选择”归档。